{"id":3685,"date":"2025-02-15T20:07:47","date_gmt":"2025-02-15T19:07:47","guid":{"rendered":"https:\/\/maximini.eu\/work\/?p=3685"},"modified":"2025-03-13T12:58:29","modified_gmt":"2025-03-13T11:58:29","slug":"binaere-suche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/maximini.eu\/work\/binaere-suche\/","title":{"rendered":"Bin\u00e4re Suche"},"content":{"rendered":"

Die Bin\u00e4re Suche ist ein Such-Algorithmus, der einen Schl\u00fcssel (Suchwert x) in einer aufsteigend sortierten Liste findet.<\/p>\n

Schrittfolge des Algorithmus <\/h2>\n

Das Array<\/a> wird schrittweise in zwei H\u00e4lften geteilt und wiederholt mit dem mittleren Index (A[m]) des jeweiligen Suchbereichs verglichen. Wenn x kleiner ist als A[m] wird der linke und wenn x gr\u00f6\u00dfer ist als A[m] wird der rechte Bereich eingeschr\u00e4nkt. Wenn x gleich A[m] ist, wurde der Suchwert gefunden. <\/p>\n\n\n\n
mittlerer Index m = \u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b <\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
******** Pseudocode bin\u00e4re Suche *********\r\n\r\ndef left = 0\r\ndef right = A.length-1\r\nwhile left \u2264 right do\r\n     m = \u230a(left + right)\/2\u230b\r\n     if A[m] = x then \r\n        return m\r\n     else if x < A[m] then\r\n        right = m - 1\r\n     else\r\n        left = m + 1\r\nEnd While\r\nreturn -1<\/b><\/pre>\n
Komplexit\u00e4t des Algorithmus (Laufzeitanalyse)<\/strong><\/h2>\n

\nBest-Case: O(1)<\/span><\/strong>, Worst Case: O(log2<\/sub> n)<\/span><\/strong>, Average Case: O(log2<\/sub> n)<\/span><\/strong><\/h3>\n
Die Komplexit\u00e4t der bin\u00e4ren Suche h\u00e4ngt von der L\u00e4nge der Liste (n) ab. Im besten Fall w\u00e4re der Schl\u00fcssel gleich  der mittlere Index. Dann h\u00e4tte der Algorithmus die Komplexit\u00e4t O(1) und w\u00fcrde nach dem ersten Schritt terminieren. Die Bin\u00e4re Suche ben\u00f6tigt bei n Elementen log2<\/sub> n Vergleiche, unabh\u00e4ngig davon ob der Suchwert in der Liste vorhanden ist oder nicht. Die Komplexit\u00e4t O(log2<\/sub> n) gilt sowohl f\u00fcr den Average- als auch f\u00fcr den Worst Case.<\/p>\n
\n
Beispiel 1:<\/h2>\n
Bin\u00e4re Suche nach Schl\u00fcssel 30 im Array A  <\/h3>\n
Der Algorithmus sucht bin\u00e4r nach dem Schl\u00fcssel 30 im Array A mit den aufsteigend sortieren Zahlen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 und 50. Solange die Bedingung left \u2264 right gilt, berechnet der Algorithmus den  mittleren Index m des aktuellen Suchbereichs und vergleicht A[m] mit dem Suchwert x = 30.<\/p>\n
Initialisierung
\n<\/b>Suchbereich A [5, 10, 15, 20, 25, 30, 3<\/span>5, 40, 45, 50]  mit zehn Elementen
\nSuchwert x = 30
\nAnfang left = A [0] = 5 
\nEnde right = A [(A.length – 1)] = A [(10 – 1)] = A[9] = 50
\n<\/b><\/p>\n
erster Schritt<\/strong>
\nSuchbereich A [5, 10, 15, 20, 25<\/strong><\/span>, 30<\/span><\/strong>, 35, 40, 45, 50] mit zehn Elementen
\nmittlerer Index m = \u230a (left + right) \/ 2 = \u230a (0 + 9) \/ 2 \u230b = 4
\nA[m] = A[4] = 25
\nVergleich x mit A[m]:  30 > 25, links von A[0] = 5 bis A[m + 1] = A[(4 + 1)] = A[5] = 30 ausgeschlossen<\/p>\n
zweiter Schritt<\/strong>
\nSuchbereich [30<\/span><\/strong>, 35, 40<\/span><\/strong>, 45, 50] mit f\u00fcnf Elementen
\nmittlerer Index m =\u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b = \u230a (0 + 4) \/ 2<\/span>\u230b = 2<\/span>
\nA[m] = A[2] = 40
\n<\/span>Vergleich x mit A[m]: 30 < 40, rechts ab A[m + 1] = A[3] = 45 <\/span>ausgeschlossen  <\/p>\n
dritter Schritt<\/strong>
\nSuchbereich [30<\/span><\/strong>, 35] mit zwei Elementen
\nmittlerer Index m =\u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b = \u230a (0 + 1) \/ 2<\/span>\u230b = 0
\nA[m] = A[0] = 30
\nVergleich x mit A[m]: 30 = 30, Treffer A[0] = 30
\n<\/span><\/p>\n
Der Algorithmus terminiert nach drei Schritten, da der Wert 30 gefunden wurde. Das Ergebnis ist 0, der Index des Suchwerts. <\/p>\n
******** Pseudocode bin\u00e4re Suche nach Schl\u00fcssel 30 ********* \r\n\r\ninput: A  [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50] \r\ndef x = 30 \r\ndef left = 0 \r\ndef right = A.length-1 \r\nwhile left \u2264 right do \r\n<\/b>   m = \u230a(left + right)\/2\u230b   \r\n<\/b>   if A[m] = x then       \r\n     return m \r\n<\/b>   else if x < A[m] then \r\n     right = m - 1 \r\n   else \r\n     left = m + 1 \r\nEnd While \r\nreturn -1<\/b><\/pre>\n
\n
Beispiel 2: <\/h2>\n
Bin\u00e4re Suche nach Schl\u00fcssel 42 im Array A <\/h3>\n
Der Algorithmus sucht bin\u00e4r nach dem Schl\u00fcssel 42 im Array A mit den aufsteigend sortieren Zahlen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 und 50. Solange die Bedingung left \u2264 right gilt, berechnet der Algorithmus den  mittleren Index m des aktuellen Suchbereichs und vergleicht A[m] mit dem Suchwert x = 42.<\/p>\n
Initialisierung
\n<\/b>Suchbereich A [5, 10, 15, 20, 25, 30, 3<\/span>5, 40, 45, 50]  mit zehn Elementen
\nSuchwert x = 42
\nAnfang left = A[0] = 5
\nEnde right = A[(A.length – 1)] = A[(10 – 1)] = A [9] = 50
\n<\/b><\/p>\n
erster Schritt<\/strong>
\nSuchbereich A [5, 10, 15, 20, 25<\/strong><\/span>, 30, 35, 40, 45, 50] mit zehn Elementen
\nmittlerer Index m = \u230a (left + right) \/ 2 = \u230a (0 + 9) \/ 2 \u230b = 4
\nA[m] = A[4] = 25
\nVergleich x mit A[m]:  42 > 25, links von A[0] = 5 bis A[m + 1] = A[(4 + 1)] = A[5] = 30 ausgeschlossen<\/p>\n
zweiter Schritt<\/strong>
\nSuchbereich [30, 35, 40<\/span><\/strong>, 45, 50] mit f\u00fcnf Elementen
\nmittlerer Index m =\u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b = \u230a (0 + 4) \/ 2<\/span>\u230b = 2<\/span>
\nA[m] = A[2] = 40
\n<\/span>Vergleich x mit A[m]: 42 > 40, links von A[0] = 30 bis A[m + 1] = A[(2 + 1)] = A[3] = 40  ausgeschlossen  <\/p>\n
dritter Schritt<\/strong>
\nSuchbereich [45, 50] mit zwei Elementen
\nmittlerer Index m =\u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b = \u230a (0 + 1) \/ 2<\/span>\u230b = 0
\nA[m] = A[0] = 45
\nVergleich x mit A[m]: 42 < 45, Abbruchbedingung <\/span><\/span>left \u2264 right nicht erf\u00fcllt,-1<\/span><\/span>
\n<\/span><\/p>\n
Der Algorithmus bricht nach drei Schritten ab, da die Bedingung <\/span><\/span>left \u2264 right nicht mehr erf\u00fcllt ist. Der gesuchte Wert 42 wurde nicht gefunden und der Algorithmus <\/span><\/span>liefert das Ergebnis -1.<\/p>\n
******** Pseudocode bin\u00e4re Suche nach Schl\u00fcssel 42 *********\r\n\r\ninput: A [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]\r\ndef x = 42\r\ndef left = 0\r\ndef right = A.length-1\r\nwhile left \u2264 right do\r\n     m = \u230a(left + right )\/2\u230b\r\n     if A[m] = x then \r\n        return m\r\n     else if x < A[m] then\r\n        right = m - 1\r\n     else\r\n        left = m + 1\r\nEnd While\r\nreturn -1<\/b><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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