{"id":4017,"date":"2025-03-16T18:17:49","date_gmt":"2025-03-16T17:17:49","guid":{"rendered":"https:\/\/maximini.eu\/work\/?p=4017"},"modified":"2026-04-01T14:18:45","modified_gmt":"2026-04-01T12:18:45","slug":"merge-sort","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/maximini.eu\/work\/merge-sort\/","title":{"rendered":"Merge-Sort"},"content":{"rendered":"

Merge-Sort<\/a> ist ein Sortieralgorithmus, der eine Liste (Array) in kleinere Teillisten aufteilt, diese sortiert und wieder zusammenf\u00fchrt. Beim Top-Down-Merge-Sort wird das Array nach dem Teile und herrsche<\/a> (divide and conquer)- Prinzip von oben nach unten sortiert. Beim Bottom-Up-Merge-Sort werden Arrays mit einem Elemente iterativ (schrittweise) von unten nach oben zu einer sortierten Gesamtliste zusammengef\u00fcgt.<\/p>\n

Schrittfolge des Algorithmus <\/h2>\n

Top-Down-Merge-Sort<\/h3>\n

Der Algorithmus arbeitet in zwei Phasen. In der ersten Phase teilt er die Ausgangsliste immer mittig in kleinere Teillisten, bis alle Teillisten nur noch ein Element enthalten. Die Mitte des Arrays berechnet man der Formel \u230a ( left + right ) \/ 2\u230b ). In der zweiten Phase werden die Elemente der Teillisten paarweise verglichen und schrittweise wieder zusammengef\u00fchrt (gemergt).<\/p>\n

******** Pseudocode MergeSort <\/b>Top-Down<\/strong> *********\r\n\r\nInput: unsorted array A\r\nOutput: sorted array A\r\n\r\nMergeSort (A, left, right)\r\n  if left < right then\r\n    middle = \u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b <\/span><\/strong>\r\n    MergeSort (A, left, middle)\r\n    MergeSort (A, middle + 1,right)\r\n  MergeSort()\r\nreturn A\r\n<\/b><\/pre>\n
Bottom-Up-Merge-Sort<\/h3>\n
Beim Bottom-Up-Merge-Sort gibt es keine Teilungsphase. Der Algorithmus beginnt mit bereits sortierten 1-Element-Arrays und f\u00fchrt diese in aufsteigender Reihenfolge zusammen. Das Merging erfolgt iterativ (schrittweise) von unten nach oben. Dabei  verdoppelt sich in jeder Iteration die Gr\u00f6\u00dfe der Teilarrays. <\/p>\n
******** Pseudocode MergeSort <\/b>Botton-Up<\/strong> ********* \r\n\r\nInput: unsorted array A \r\n<\/b>Output: sorted array A \r\n\r\n<\/b>MergeSort (A)\r\n   def size = 1<\/b>              \/\/ Anfangsgr\u00f6\u00dfe Teillisten\r\n   def left = 0\r\n   def n = A.length\r\n<\/b>   while size < n do\r\n      for left = 0 to n mit Schritt 2 \u22c5 size do\r\n         middle = left + size - 1          \r\n         right = min(left + 2 \u22c5 size - 1, n - 1)      \r\n         MergeSort (A, left, middle, right)  \r\n      size = size \u22c5 2                   <\/b>\r\n<\/b>return A<\/b><\/pre>\n
Komplexit\u00e4t des Algorithmus<\/h2>\n
Best-Case: O(n log2<\/sub> n)<\/span>, Worst Case: O(n log2<\/sub> n )<\/span>,Average Case: O(n log2<\/sub> n)<\/span><\/strong><\/h3>\n
Der Merge-Sort-Algorithmus hat bei beiden Varianten eine lineare Speicherplatzkomplexit\u00e4t O(n). In Abh\u00e4ngigkeit von der Anzahl der Elemente der Ausgangsliste ben\u00f6tigt der Merge-Sort immer proportional zus\u00e4tzlichen Speicher f\u00fcr die Arrays der Teillisten. Beim Bottom-Up-Merge-Sort entf\u00e4llt der Speicherbedarf f\u00fcr den rekursiven Stack.  Die Laufzeitkomplexit\u00e4t des Merge-Sort-Algorithmus ist in allen drei F\u00e4llen quasilinear O(n log2<\/sub> n), d.h. sie w\u00e4chst mit zunehmender Eingabegr\u00f6\u00dfe etwas mehr als linear. Das Array wird in der Divide-Phase in zwei H\u00e4lften geteilt. Die notwendigen Teilungsschritte (Rekursionstiefe<\/a>) werden mit dem Logarithmus zur Basis 2 ( log2<\/sub> n ) berechnet, wobei n die Anzahl der Elemente ist. Anschlie\u00dfend werden die Teillisten in den Mergeschritten zusammengef\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n\n
Beispiel<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Der Merge-Sort-Algorithmus teilt ein Array mit vier Elementen  [ 1, 2, 3, 4 ] in vier Arrays mit einem Element [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]. Die Anzahl der Listenelemente ist n  = 4. Bei einem Array <\/span>mit vier Elementen ben\u00f6tigt er zwei Teilungen, die <\/span><\/span><\/span>Rekursionstiefe<\/span> betr\u00e4gt <\/span><\/span><\/span>log2 <\/span><\/span><\/span><\/sub>\u200b<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>4 = 2, da <\/span><\/span> \u206122<\/sup> = 4. In der Conquer-Phase f\u00fchrt der Algorithmus beim Mergen insgesamt f\u00fcnf Vergleiche durch<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>.<\/p>\n
Divide-Phase (Teilungsphase)<\/h4>\n
Erste Teilung: 
\n[ 1, 2, 3, 4  ] –> [ 1, 2 ] [ 3, 4 ]
\nZweite Teilung:
\n[ 1, 2 ]  –> [ 1 ] [ 2 ]
\n[ 3, 4 ]  –> [ 3 ] [ 4 ]<\/p>\n
Conquer-Phase (Eroberungsphase)<\/h4>\n
Erster Merge:  
\n1. Vergleich [ 1 ] [ 2 ]: 1 < 2       –> [ 1, 2 ] 
\n2. Vergleich [ 3 ] [ 4 ]: 3 < 4       –> [ 3, 4 ] <\/p>\n
Zweiter Merge:
\n1. Vergleich [ 1<\/span><\/strong>, 2 ] [ 3<\/strong>, 4 ]: 1 < 3    –> [ 1 ]   
\n2. Vergleich [ 1<\/span>, 2<\/span> <\/strong>] [ 3<\/strong>, 4 ]: 2 < 3    –> [ 1, 2 ]   
\n3. Vergleich [ 1<\/span>, 2 <\/span>] [ 3<\/span><\/strong>, 4 <\/span><\/strong>]: 3 < 4    –> [ 1, 2, 3 ]   
\n4. Vergleich [ 1<\/span>, 2 <\/span>] [ 3<\/span>, 4 <\/strong><\/span>]: Rest 4  –> [ 1, 2, 3, 4 ]   <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\n
Beispiel 1:<\/h2>\n
Merge-Sort-Algorithmus Top-Down im Array A<\/h3>\n
Der Algorithmus sortiert die acht Zahlen des Arrays A [ 13, 20, 9, 4, 17, 7, 15, 11 ] von oben nach unten in aufsteigender Reihenfolge. Der Algorithmus f\u00fchrt in der Teilungsphase log2 <\/sub> 8 = 3 Teilungsschritte durch. Er ermittelt die jeweilige mittlere Position der Arrays mit der Formel \u230a (left + right) \/ 2 \u230b und teilt das Ausgangsarray in acht Arrays mit einem Element. In der Eroberungsphase f\u00fchrt der Algorithmus f\u00fchrt er log  2 <\/sub>\u200b( 8) = 3 Mergeschritte durch. In jedem Schritt sortiert er das jeweilige Teilarray indem er die aktuellen Elemente mit dem Zwei-Zeiger<\/a>-Verfahren vergleicht. Abschlie\u00dfend werden die sortierten Teillisten zu einem sortierten Array zusammenf\u00fcgt.<\/p>\n
Initialisierung<\/h4>\n
Array A [ 13, 20, 9, 4, 17, 7, 15, 11 ], Anzahl Elemente n = 8 
\nleft  = 0
\nright = A.lenght = 8<\/p>\n
\n
Divide-Phase (Teilungsphase)<\/h4>\n
Erste Teilung:
\nmiddle = \u230a (0 + 8) \/ 2 \u230b = 4, A [ 4 ] = 17
\nArray A [ 13, 20, 9, 4, 17<\/span><\/strong>, 7, 15, 11 ]
\nTeilarray A1<\/sub> [ 13, 20, 9, 4 ] 
\nTeilarray A2<\/sub> [ 17, 7, 15, 11 ] <\/p>\n
Zweite Teilung:
\nmiddle = \u230a (0 + 4) \/ 2 \u230b = 2, A1<\/sub> [ 2 ] = 9, A2<\/sub> [ 2 ] = 15
\nTeilarray A1<\/sub> [ 13, 20,<\/span> 9<\/span><\/strong>, 4 ] , Teilarray A2<\/sub> [ 17, 7, 15<\/span><\/strong>, 11 ] 
\nTeilarray A1<\/sub>  [ 13, 20 ] 
\nTeilarray A2<\/sub>  [ 9, 4 ] 
\nTeilarray A3<\/sub> [ 17, 7 ] 
\nTeilarray A4<\/sub> [ 15, 11 ] <\/p>\n
Dritte Teilung:
\nmiddle = \u230a (0 + 2) \/ 2<\/span>\u230b = 1, A11<\/sub> [ 1 ] = 20, A12<\/sub> [ 1 ] = 4, A21<\/sub> [ 1 ] = 7, A22<\/sub> [ 1 ] = 11<\/span>
\nTeilarray A1<\/sub>  [ 13, 20<\/span><\/strong> ] , Teilarray A2<\/sub>  [ 9, 4<\/span> <\/strong>] , Teilarray A3<\/sub> [ 17, 7<\/span> <\/strong>] , Teilarray A4<\/sub> [ 15, 11<\/span> <\/strong>] 
\nTeilarray A1<\/sub>  [ 13 ] 
\nTeilarray A2<\/sub>  [ 20 ] 
\nTeilarray A3<\/sub>  [ 9 ] 
\nTeilarray A4<\/sub>  [ 4 ] 
\nTeilarray A5<\/sub> [ 17 ] 
\nTeilarray A6<\/sub> [ 7 ] 
\nTeilarray A7<\/sub> [ 15 ] 
\nTeilarray A8 <\/span>[ 11 ] <\/p>\n
\n
Conquer-Phase (Eroberungsphase) <\/h4>\n
Erster Merge:
\n1. Vergleich A1<\/sub> [ 13 ],  A2<\/sub>[ 20 ]: 13 < 20 –> A1 <\/sub>[ 13, 20<\/span> ]
\n2. Vergleich A3<\/sub> [ 9 ],  A4<\/sub>[ 4 ]: 9 > 4  –> A2 <\/sub>[ 4, 9<\/span> ]
\n3. Vergleich A5<\/sub> [ 7 ],  A6<\/sub>[ 17 ]: 7 <  17 –> A3 <\/sub>[ 7, 17<\/span> ]
\n4. Vergleich A7<\/sub> [ 15 ],  A8<\/sub>[ 11 ]: 15 > 11 –> A4 <\/sub>[ 11, 15<\/span> ]<\/p>\n
Zweiter Merge:
\n1. Vergleich A1<\/sub> [13<\/strong>, 20 ],  A2<\/sub>[4<\/strong>, 9<\/span> ]: 13 > 4 –> A1 <\/sub>[ 4 ]
\n2. Vergleich A1<\/sub> [ 13<\/strong>, 20<\/span> ],  A2<\/sub>[ 4, 9<\/strong><\/span><\/span> ]: 13 > 9 –> A1 <\/sub>[ 4, 9 ]
\n3. Vergleich A1<\/sub> [ 13<\/span><\/strong>, 20<\/strong><\/span> ],  A2<\/sub>[ 4, 9<\/span> ]: 13 < 20 –> A1 <\/sub>[ 4, 9, 13 ]
\nRest             A1<\/sub> [ 13, 20<\/strong><\/span><\/span> ],  A2<\/sub>[ 4, 9<\/span> ]: 20 = 20  –> A1 <\/sub>[ 4, 9, 13, 20 ]
\n4. Vergleich A3<\/sub> [ 7<\/span><\/strong>, 17 ],  A4<\/sub>[ 11<\/strong><\/span>, 15 ]:   7 < 11 –> A2 <\/sub>[ 7<\/span> ]
\n5. Vergleich A3<\/sub> [ 7<\/span>, 17<\/span> <\/span><\/strong>],  A4<\/sub>[ 11<\/strong><\/span>, 15 ]: 17 > 11 –> A2 <\/sub>[ 7, 11<\/span> ]
\n6. Vergleich A3<\/sub> [ 7<\/span>, 17<\/span> <\/span><\/strong>],  A4<\/sub>[ 11<\/span>, 15<\/strong> <\/span>]: 15 < 17 –> A2 <\/sub>[ 7, 11, 15<\/span> ]
\nRest              A3<\/sub> [ 7<\/span>, 17 <\/span><\/strong>],  A4<\/sub>[ 11<\/span>, 15 ]:  17 = 17 –> A2 <\/sub>[ 7, 11, 15, 17<\/span> ]       <\/p>\n
Dritter Merge:
\n1. Vergleich A1<\/sub> [ 4<\/strong><\/span>, 9, 13, 20 ], A2<\/sub> [ 7, 11, 15, 17 ]: 4 < 7 –> A <\/sub>[ 4 ]
\n2. Vergleich A1<\/sub> [ 4<\/strong>, 9, 13, 20 ], A2<\/sub> [ 7<\/span><\/strong>, 11, 15, 17 ]: 4 < 7 –> A <\/sub>[ 4, 7 ]
\n3. Vergleich A1<\/sub> [ 4, 9<\/strong><\/span>, 13, 20 ], A2<\/sub> [ 7, 11<\/strong>, 15, 17 ]: 9 < 11 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9 ]
\n4. Vergleich A1<\/sub> [ 4, 9, 13<\/strong>, 20 ], A2<\/sub> [ 7, 11<\/span><\/strong>, 15, 17 ]: 11 < 13 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11 ]
\n5. Vergleich A1<\/sub> [ 4, 9, 13<\/strong><\/span>, 20 ], A2<\/sub> [ 7, 11, 15<\/strong>, 17 ]: 13 < 15 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13 ]
\n6. Vergleich A1<\/sub> [ 4, 9, 13, 20 ], A2<\/sub> [ 7, 11, 15<\/span><\/strong>, 17<\/strong> ]: 15 < 17  –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, 15 ]
\n7. Vergleich A1<\/sub> [ 4, 9, 13, 20 <\/strong><\/span>], A2<\/sub> [ 7, 11, 15, 17<\/strong> <\/span>]: 17 < 20 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ]
\nRest              A1<\/sub> [ 4, 9, 13, 20<\/span> <\/strong>], A2<\/sub> [ 7, 11, 15, 17 ]:  20 = 20 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20 ]<\/p>\n
\n
Output Array A [ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20 ]<\/b><\/h4>\n
Der Algorithmus terminiert nach drei Divide- und Conquer-Phasen und gibt das sortierte Array A [ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20 ] aus. Insgesamt wurden in der Conquer-Phase 4 + 6 + 7 = 17   Vergleiche durchgef\u00fchrt.<\/p>\n
**** Pseudocode MergeSort Top-Down<\/strong> A [13, 20, 9, 4, 17, 7, 15, 11] ****\r\n\r\ndef A [13, 20, 9, 4, 17, 7, 15, 11]\r\n\r\nMergeSort (A, left, right)          \r\n<\/b>    if left < right then \r\n<\/b>         middle = \u230a (left + right) \/ 2<\/span>\u230b <\/span><\/strong> \r\n         MergeSort (A, left, middle) \r\n         MergeSort (A, middle + 1,right) \r\n      MergeSort () \r\nreturn A<\/b><\/pre>\n
\n
Beispiel 2:<\/h2>\n
Merge-Sort-Algorithmus Bottom-Up f\u00fcr die <\/strong>Arrays A1<\/sub> bis A8<\/sub><\/h3>\n
Der Algorithmus f\u00fcgt die acht Arrays [ 13 ] [ 20 ] [ 9 ] [ 4 ] [ 17 ]  [ 7 ] [ 15 ] [ 11 ] mit je einem Element (n = 1) von unten nach oben zu einem in aufsteigender Reihenfolge sortierten Array zusammen. Der Algorithmus f\u00fchrt in der Conquer-Phase log2<\/span><\/span><\/span><\/sub>(<\/span><\/span><\/span>\u200b<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>8) = 3 Mergeschritte durch. In jedem Schritt vergleicht er die aktuellen Elemente mit dem Zwei-Zeiger-Verfahren und f\u00fcgt die sortierten Teilarrays schrittweise zu einem sortierten Array zusammen.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/p>\n
Initialisierung
\n<\/b>A1<\/sub> [13]
\nA2<\/sub> [20] 
\nA3<\/sub> [ 9 ] 
\nA4<\/sub> [ 4 ] 
\nA5<\/sub> [17] 
\nA6<\/sub> [ 7 ] 
\nA7<\/sub> [15] 
\nA8<\/sub> [11] 
\nleft  = 0
\nright = A.lenght = 8<\/p>\n
\n
Conquer-Phase<\/strong><\/p>\n
Dritter Merge<\/strong> 
\n1. Vergleich A1<\/sub> <\/sub>[ 4<\/strong><\/span>, 9, 13, 20 ], A2 <\/sub>[ 7<\/strong>, 11, 15, 17 ]: 4 < 7 –> A [ 4<\/span><\/strong>, 7<\/strong> <\/span>]
\n2. Vergleich  <\/sub>[ 4, 9<\/strong><\/span><\/span>, 13, 20 ], [ 7<\/strong><\/span>, 11, 15, 17 ]: 7 < 9  –> A <\/sub>[ 4, 7, 9<\/span><\/strong> ] <\/sub>
\n3. Vergleich  <\/sub>[ 4, 9<\/strong><\/span><\/span>, 13, 20 ], [ 7<\/span>, 11<\/span><\/strong>, 15, 17 ]: 9 < 11 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11<\/span> <\/strong>]
\n4. Vergleich  [ 4, 9<\/span>, 13<\/strong><\/span>, 20 ], [ 7<\/span>, 11<\/span><\/strong>, 15, 17 ]: 11 < 13  –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13<\/strong> <\/span>]
\n5. Vergleich  [ 4, 9<\/span>, 13<\/strong><\/span>, 20 ], [ 7<\/span>, 11<\/span>, 15<\/strong>, 17 ]: 13 < 15  –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, <\/span>15<\/strong> <\/span>]
\n6. Vergleich  [ 4, 9<\/span>, 13<\/strong><\/span>, 20 ], [ 7<\/span>, 11<\/span>, 15, 17<\/strong> ]:13 < 17 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17 <\/span><\/strong><\/span><\/span>]
\n7. Vergleich  [ 4, 9<\/span>, 13<\/span>, 20<\/strong> <\/span>], [ 7<\/span>, 11<\/span>, 15, 17<\/strong> ]: 20 > 17 –> A <\/sub>[ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20<\/strong> <\/span><\/span><\/span>]<\/p>\n
Zweiter Merge 
\n<\/strong>1. Vergleich A1 <\/sub>[ 13<\/span><\/strong>, 20 ],  A2<\/sub>[ 4<\/span><\/strong>, 9 ]:13 > 4  –> A1 <\/sub>[ 4<\/span><\/strong>, 13<\/span><\/strong> ]
\n2. Vergleich A1 <\/sub>[ 13<\/span><\/strong>, 20 ],  A2<\/sub>[ 4<\/span>, 9<\/strong> ]:13 > 9  –> A1 <\/sub>[ 4, 9<\/span><\/strong>, 13 ]
\n3. Vergleich A1 <\/sub>[ 13,<\/span> 20<\/span> <\/strong>],  A2<\/sub>[ 4<\/span>, 9<\/strong> ]:20 > 9  –> A1 <\/sub>[ 4, 9, 13, 20<\/strong><\/span> ]
\n4. Vergleich A3 <\/sub>[ 7<\/span><\/strong>, 17 ], A4 <\/sub>[ 11<\/strong>, 15 ]: 7 < 11  –> A2 <\/sub>[ 7<\/span><\/strong>, 11<\/strong> <\/span>]
\n5. Vergleich A3 <\/sub>[ 7<\/span><\/strong>, 17 ], A4 <\/sub>[ 11, 15<\/strong> ]: 7 < 15  –> A2 <\/sub>[ 7, 11, 15<\/span> <\/strong>]
\n6. Vergleich A3 <\/sub>[ 7<\/span>, 17<\/span> <\/strong>], A4 <\/sub>[ 11<\/strong>, 15 ]: 17 > 15  –> A2 <\/sub>[ 7, 11, 15, 17<\/span><\/strong> ]<\/p>\n
Erster Merge 
\n<\/strong>1. Vergleich A1<\/sub> [ 13 ],  A2<\/sub> [ 20 ]:13 < 20 –> A1 <\/sub>[ 13, 20 ]
\n<\/strong>2. Vergleich A3<\/sub> [ 9 ], A4<\/sub> [ 4 ]: 9 > 4  –> A2 <\/sub>[ 4, 9 ]
\n3. Vergleich A5<\/sub> [ 17 ], A6<\/sub> [ 7 ]:17 > 7 –> A3 <\/sub>[ 7, 17 ]
\n4. Vergleich A7<\/sub> [ 15 ], A8<\/sub> [ 11 ]: 15 > 11 –> A4 <\/sub>[ 11, 15 ]    <\/p>\n
\n
Output: <\/strong>Array A [ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20 ]<\/p>\n
Der Algorithmus terminiert nach drei Divide- und drei Conquer-Phasen und gibt das sortierte Array A [ 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20 ]  <\/span>aus. Insgesamt hat er 7 + 6 + 4 = 17 <\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>Vergleiche vorgenommen.<\/p>\n
******** Pseudocode MergeSort <\/b>Botton-Up<\/strong> ********* \r\n\r\nInput: \r\nA1<\/sub> [13]\r\n<\/b>A2<\/sub> [20]\r\n<\/b>A3<\/sub> [9]\r\nA4<\/sub> [4]\r\nA5<\/sub> [17]\r\nA6<\/sub> [7]\r\nA7<\/sub> [15]\r\nA8<\/sub> [11]<\/b>\r\n\r\n<\/b>MergeSort (A1<\/sub>,A2<\/sub>,A3,<\/sub>A4,<\/sub>A5<\/sub>,A6<\/sub>,A7<\/sub>,A8<\/sub>)\r\n   def size = 1<\/b>              \r\n   def left = 0\r\n   def n = A.length\r\n<\/b>   while size < n do\r\n      for left = 0 to n mit Schritt 2 \u22c5 size do\r\n         middle = left + size - 1          \r\n         right = min(left + 2 \u22c5 size - 1, n - 1)      \r\n         MergeSort (A, left, middle, right)  \r\n      size = size \u22c5 2                   <\/b>\r\n<\/b>return A<\/b><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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